BAHAN AJAR
PERTEMUAN
KE 1 SK. 7
MATA
PELAJARAN : MATEMATIKA
KELAS
/ SEMESTER : VIII / GANJIL
MATERI
PEMBELAJARAN : FAKTORISASI
SUKU ALJABAR
SUB MATERI : Pengertian variabel, konstanta, koefisien dan
suku
Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar
ALOKASI
WAKTU :
2 x 40 MENIT ________________________________________________________________________
II. Kompetensi Dasar
: 7.1. Melakukan operasi aljabar
III. Indikator
1. Produk:
·
Menentukan
variabel, konstanta, koefisien dan suku
·
Menyelesaikan
operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar
2. Proses:
·
Menjelaskan perbedaan variabel, konstanta, koefisien dan suku
·
Cara
menyelesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan
Uraian
Materi:
VARIABEL,
KONSTANTA, KOEFISIEN DAN SUKU
Masih
ingatkah kamu tentang penjumlahan bilangan bulat? Coba kerjakan beberapa soal
berikut.
2+
(-3) = . . .
-4
- (-5) = . . .
7
+ (-2) = . . .
Jika
kamu lupa, sebaiknya kamu pelajari kembali. Pemahaman tentang penjumlahan
bilangan bulat diperlukan untuk dapat memahami materi selanjutnya
Misalkan
kamu akan berbelanja 5kg gula dan 7 kg beras. Jika harga gula adalah g rupiah
perkilogram dan harga beras adalah b rupiah perkilogram, maka uang yang harus
kamu bayar adalah 5g + 7b rupiah.
Bentuk
5g+7b adalah salah satu contoh bentuk aljabar. Pada bentuk aljabar 5g+7b, g dan
b disebut variabel. Bilangan 5 disebut koefisien dari g dan 7 disebut koefisien
dari b. 5g dan 7b disebut suku dari bentuk aljabar 5g+7b. Jadi 5g+7b terdiri
dari dua suku. Bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku disebut suku dua
(binomial), yang mempunyai tiga suku disebut suku tiga (trinomial) dan
yang terdiri dari dari satu suku disebut suku satu (monomial). Bentuk
aljabar yang mempunyai dua suku atau lebih disebut suku banyak (polinomial).
Berikut
ini beberapa contoh dari bentuk aljabar.
1. 2h+6s-7k
adalah contoh suku tiga (trinomial) Variabelnya adalah h,
s dan k. Bilangan 2 adalah koefisien dari h, 6 adalah
koefisien s dan -7 adalah koefisien k.
2. -4w + 8 adalah contoh suku dua (binomial). Variabelnya
adalah w. Bilangan 8 disebut dengan konstanta.
PENJUMLAHAN
DAN PENGURANGAN BENTUK ALJABAR
Selesaikanlah
penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut:
a.
4x - 2x = 2x
b.
3x + 3x – x = 6x – x
= 5x
c. 7y2 –
3y + 4y + 8y2 +
4y
= 7y2 – 3y + 4y +
8y2 + 4y
= 15y2
– 3y + 8y
= 15y2
+ 5y
SOAL LATIHAN:
1.
Tentukan variabel, koefisien dari setiap variabel dan konstanta
dari bentuk aljabar
2x2 + 3y2 - 2y + x2
- 4
Adakah suku sejenisnya? Tuliskan
2.
Tentukanlah
hasil dari:
3.
Sederhanakan
bentuk:
BAHAN AJAR
PERTEMUAN
KE 2 SK. 7
MATA
PELAJARAN : MATEMATIKA
KELAS
/ SEMESTER : VIII / GANJIL
MATERI
PEMBELAJARAN : FAKTORISASI
SUKU ALJABAR
SUB
MATERI : Operasi Hitung pada Bentuk
Aljabar
ALOKASI
WAKTU :
3 x 40 MENIT ________________________________________________________________________
II. Kompetensi Dasar
: 7.1. Melakukan operasi aljabar
III. Indikator
A. Kognitif
1. Produk:
·
Menyelesaikan
operasi perkalian, pembagian, perpangkatan pada bentuk aljabar
2. Proses:
·
Cara
menyelesaikan operasi operasi perkalian, pembagian dan perpangkatan pada bentuk
aljabar
Uraian materi:
Perkalian
Bentuk Aljabar
2x
+ 3
Pada bagian ini, kamu akan mempelajari perkalian suku
satu dan suku dua dari bentuk aljabar.
Cobalah
kamu selesaikan perkalian suku satu dan suku dua berikut tanpa menggunakan
model, tetapi gunakan sifat distributif.
a.
7(2x
+ 5) = 14 x + 35
b. (3x – 7) 4x =
12x2 – 28x
c.
(x
+ 2) 2x = (x) 2x + (2) 2x
= 2x2 + 4x
Perkalian Suku dua dan suku dua
Misal Genetika
Keterkaitan dengan bentuk
aljabar.
Berabad-abad orang telah tertarik mengapa satu
generasi berbeda satu sama lain dan mengapa anak mirip dengan orang tuanya.
Dalam diri manusia terdapat gen yang menentukan sifat
keturunan. Misalkan, sepasang orang tua mempunyai rambut keriting dengan
genotif Kk. Gen K menunjukkan gen dominan untuk rambut keriting
dan gen k menunjukkan gen resesif untuk rambut lurus. Huruf di bagian
kotak paling kiri dan atas menyatakan gen orang tua. Sedangkan huruf di dalam
kotak menunjukkan kemungkinan kombinasi gen.
Apabila
gen orang tua digabungkan maka semua kombinasi yang mungkin adalah
(K + k)(K + k)
= KK + Kk + Kk + kk
= KK + 2Kk +
kk
Arti dari kombinasi gen di atas
adalah, kemungkinan jenis rambut anak dari kedua orang tua tersebut adalah
rambut keriting atau rambut lurus.
(K + k)(K +
k) adalah
satu contoh perkalian suku dua dengan suku dua.
Cara lain yang dapat digunakan
untuk menentukan hasil kali dua buah suku dua dengan cara seperti berikut ini.
( a + b) ( c + d) = a.c + a.d +
b.c + b.d
CONTOH:
1. Selesaikan dengan menggunakan
langkah-langkah yang kamu gunakan!
a. (2x + 3)(3x + 5)
b. (2x +
1)(5x – 3)
Jawab:
a. (2x + 5)(x+2)
= 2x.x + 2x.2+ 5.x+5.2
= 2x2 + 4x +
5x + 10
= 2x2 + 9x
+ 10
b. (-x+3) (3x-2)
= (-x) 3x + (-x).(-2) + 3.3x + 3 (-2)
= -3x2 + 2x +
9x - 6
= -3x2 + 11x – 6
Perpangkatan
Coba
kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi
perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama.
Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a,
Berlaku
Hal
ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar
CONTOH
Pada
perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut
segitiga Pascal.
Misalkan
kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran
bentuk
aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.
Perhatikan
uraian berikut.
(a
+ b)1 = a + b koefisiennya
1 1
(a
+ b)2 = (a + b) (a + b)
= a2
+ ab + ab+ b2
=
a2 + 2ab+ b2 koefisiennya 1 2 1
(a
+ b)3 = (a + b) (a + b)2
=
(a + b) (a2 + 2ab + b2)
= a3
+ 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
=
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 koefisiennya 1 3
3 1
dan
seterusnya
Adapun
pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai
dari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada
suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai
dengan
b1 pada suku ke-2
lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn pada suku ke-(n +
1).
Perhatikan
pola koefisien yang terbentuk dari penjabaran
bentuk
aljabar (a + b)n di atas. Pola koefisien tersebut
ditentukan menurut segitiga Pascal berikut.
CONTOH
Pembagian
Hasil
bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu
faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan
pembagian pada pembilang dan penyebutnya.
CONTOH
Sederhanakanlah
pembagian bentuk aljabar berikut.
1.
3xy : 2y
2.
6a3b2 : 3a2b
SOAL LATIHAN:
1. Tentukan hasil dari:
a.
b.
2.
Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut:
a.
(-3x)3 b. (4p2q)2
3.
Jabarkan perpangkatan bentuk aljabar berikut:
( 3 + 5x)3
4.
Tentukan hasil pembagi bentuk aljabar berikut:
a. 42p
: 7pq
b. 16p5q3
: 4p2q
5. Sederhanakanlah:
BAHAN AJAR
PERTEMUAN
KE 3 SK. 7
SATUAN
PENDIDIKAN : SMP
NEGERI 10 PAREPARE
MATA
PELAJARAN : MATEMATIKA
KELAS
/ SEMESTER : VIII / GANJIL
MATERI
PEMBELAJARAN : FAKTORISASI
SUKU ALJABAR
SUB
MATERI : Operasi Hitung pada Bentuk
Pecahan Aljabar
ALOKASI
WAKTU :
2 x 40 MENIT ________________________________________________________________________
II. Kompetensi Dasar
: 7.1. Melakukan operasi aljabar
III. Indikator
A. Kognitif
1. Produk:
·
Menyelesaikan
operasi penjumlahan,pengurangan,perkalian,pembagian dan perpangkatan pada
bentuk pecahan aljabar
2. Proses:
·
Cara
menyelesaikan operasi penjumlahan,pengurangan,perkalian,pembagian dan
perpangkatan pada bentuk pecahan aljabar
Uraian Materi
Operasi Hitung pada Pecahan Bentuk
Aljabar
Di bagian depan kalian telah mempelajari
mengenai bentuk aljabar beserta operasi hitungnya. Pada bagian ini kalian akan
mempelajari tentang pecahan bentuk aljabar, yaitu pecahan yang pembilang, atau
penyebut, atau kedua-duanya memuat bentuk aljabar.
Operasi
Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut SukuTunggal
a.
Penjumlahan dan pengurangan
Pada materi kelas 1 sebelumnya, kalian telah
mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan
diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau
mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan
penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya.
Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada
operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. Perhatikan contoh
berikut.
b. Perkalian dan pembagian
Ingat
kembali bentuk perkalian bilangan pecahan yang dapat dinyatakan sebagai berikut
Hal
ini juga berlaku untuk perkalian pada pecahan aljabar.
Contoh:
Tentukan
hasil perkalian pecahan bentuk aljabar berikut
Kalian pasti masih ingat bahwa pembagian merupakan
invers (operasi kebalikan) dari operasi perkalian. Oleh karena itu, dapat
dikatakan bahwa membagi dengan suatu pecahan sama artinya dengan mengalikan
terhadap kebalikan pecahan tersebut.
CO NTOH
Sederhanakan pembagian pecahan aljabar berikut.
Perpangkatan pecahan bentuk aljabar
Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang
dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan
bentuk aljabar
CONTOH
Sederhanakan perpangkatan pecahan aljabar berikut.
SOAL LATIHAN
Selesaikanlah
a.
+
b.
–
c.
x
d.
e.
BAHAN AJAR
PERTEMUAN
KE 4 SK. 7
MATA
PELAJARAN : MATEMATIKA
KELAS
/ SEMESTER : VIII/ GANJIL
MATERI
PEMBELAJARAN : FAKTORISASI
SUKU ALJABAR
SUB
MATERI :
Pemfaktoran Bentuk Aljabar
ALOKASI
WAKTU :
3 x 40 MENIT ________________________________________________________________________
II. Kompetensi Dasar
: 7.2. Menguraikan bentuk aljabar ke dalam
faktor-faktornya
III. Indikator
A. Kognitif
1. Produk:
·
Memfaktorkan
suku dua bentuk aljabar
·
Memfaktorkan
suku tiga bentuk aljabar
2. Proses:
·
Cara
memfaktorkan suku dua bentuk aljabar
·
Cara
memfaktorkan suku tiga bentuk aljabar
Uraian Materi:
Pemfaktoran
Bentuk Aljabar.
Pemfaktoran
(faktorisasi) bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu
perkalian dari bentuk aljabar tersebut
Ada
beberapa faktorisasi bentuk aljabar antara lain:
Bentuk
ax + ay + az + … dan ax + bx – cx
Bentuk
aljabar yang terdiri atas dua suku atau lebih dan memiliki faktor sekutu dapat
difaktorkan dengan menggunakan sifat distributuf.
ax
+ ay + az + … = a(x + y + z + …)
ax
+ bz – cx = x (a + b – c)
1. Memfaktorkan suku dua bentuk
aljabar
Faktorkanlah
bentuk aljabar berikut:
a.
2x + 2y b. 2x2
– 10x
jawab:
a.
2x + 2y memiliki faktor sekutu 2, sehingga 2x + 2y = 2(x + y)
b.
2x2
– 10x = 2x
(x) – 2x (5) = 2x (x
- 5).
Bentuk selisih dua kuadrat :
Bentuk Kuadrat Sempurna:
Bentuk ax2 + bx + c dengan a
= 1
Bentuk
aljabar x2 + 5x + 6 memenuhi bentuk x2 + bx + c untuk
menfaktorkan bentuk x2 + bx + c dilakukan dengan cara mencari dua
bilangan real yang hasil kalinya sama dengan c dan jumlahnya sama dengan b.
Misal
x2 + bx + c dengan (x + m)(x + n)
Maka
x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
= x2 +
mx + nx + mn
= x2 + (m + n)x + mn
x2 + bx + c = x2
+ (m + n)x + mn
sehingga menjadi:
x2 + bx + c = (x + m)(x +
n) dengan m x n = c dan m + n = b
Contoh:
Faktorkanlah
bentuk aljabar berikut: x2 + 4x + 3
Jawab:
x2
+ 4x + 3 = (x + 1) (x + 3)
Bentuk ax2 + bx + c dengan a
≠ 1, a ≠ 0.
Bentuk
ax2 + bx + c dengan a ≠ 1, a ≠ 0 dapat difaktorkan dengan cara
berikut:
ax2
+ bx + c = ax2 + px + qx + c
Dengan
p x q = a x c dan p + q = b
Untuk
menfaktorkan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:
Menggunakan
sifat diastributif
ax2
+ bx + c = ax2 + px + qx + c, dengan
p
x q = a x c dan p + q = b
Menggunakan
rumus
ax2
+ bx + c = (ax + m)(ax + n)
Dengan
m x n = a x c dan m + n = b.
Contoh:
Faktorkan
bentuk aljabar 3x2 + 14x + 15, dengan menggunakan sifat distribusi
dan menggunakan rumus.
Jawab:
-
Menggunakan sifat distribusi
3x2
+ 14x + 15 = 3x2 + 9x + 5x + 15
=
3x (x + 3) + 5 (x + 3)
=
(3x + 5)(x + 3)
-
Menggunakan rumus
3x2
+ 14x + 15 = (3x + 5)(3x + 9)
=
(3x + 9)(3x + 5)
=
3(x + 3)(3x + 5)
=
(x + 3)(3x + 5)
Jadi,
3x2 + 14x + 15 = (x + 3)(3x + 5).
SOAL LATIHAN
1.
Faktorkanlah bentuk- bentuk aljabar suku dua berikut !
a. x2
+ 5x
b. x2
– 16
2.
Faktorkanlah bentuk- bentuk aljabar suku dua berikut !
a. x2
– 19x + 48
b. 3x2
– 4x - 15
BAHAN AJAR
PERTEMUAN
KE 5 SK. 7
MATA
PELAJARAN : MATEMATIKA
KELAS
/ SEMESTER : VIII/ GANJIL
MATERI
PEMBELAJARAN : FAKTORISASI
SUKU ALJABAR
ALOKASI
WAKTU :
2 x 40 MENIT ________________________________________________________________________
II. Kompetensi Dasar
: 7.2. Menguraikan bentuk aljabar ke dalam
faktor-faktornya
III. Indikator
Kognitif
1. Produk:
·
Menyederhanakan
pecahan aljabar
·
Menyederhanakan
pecahan bersusun
2. Proses:
·
Cara
menyederhanakan pecahan aljabar
·
Cara
Menyederhanakan pecahan bersusun
Uraian Materi
Menyederhanakan pecahan aljabar dan pecahan bersusun
SOAL LATIHAN
Sederhanakanlah: a.
b.
BAHAN AJAR
PERTEMUAN
KE 7 SK. 7
MATA
PELAJARAN : MATEMATIKA
KELAS
/ SEMESTER : VIII / GANJIL
MATERI
PEMBELAJARAN : FUNGSI
SUB
MATERI : Relasi dan fungsi
ALOKASI
WAKTU :
2 x 40 MENIT ________________________________________________________________________
II. Kompetensi Dasar
: 7.3. Memahami relasi dan fungsi
III. Indikator
A. Kognitif
1. Produk:
·
Menjelaskan
dengan kata-kata dan menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan
relasi dan fungsi.
·
Menyatakan
relasi dan fungsi dengan diagram panah, diagram kartesius dan pasangan
berurutan
·
Membedakan
relasi dan fungsi dengan jelas
·
Menentukan
domain, kodomain, dan range suatu fungsi.
·
Menentukan
banyaknya fungsi(pemetaan) yang mungkin dari dua himpunan
2. Proses:
·
Cara
menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan
dengan relasi dan fungsi.
·
Cara
menyatakan relasi dan fungsi dengan diagram panah, diagram kartesius dan
pasangan berurutan
·
Cara
membedakan relasi dan fungsi dengan jelas
·
Cara
menentukan domain, kodomain, dan range suatu fungsi
·
Cara
menentukan banyaknya fungsi(pemetaan) yang mungkin dari dua
Uraian Materi
Masih ingatkah kamu tentang
materi himpunan? Coba beri contoh dua buah himpunan Jika kamu lupa, sebaiknya
kamu pelajari kembali. Pemahaman tentang himpunan diperlukan untuk dapat
memahami materi relasi dan fungsi ini dengan baik.
Pengertian Relasi
Pak Budi mempunyai lima orang
anak, yaitu Riska, Dimas, Candra, Dira, dan Reni. Masing-masing anak mempunyai
kegemaran berolahraga yang berbeda-beda. Riska gemar berolahraga badminton dan renang.
Dimas gemar berolah raga sepak bola. Candra gemar berolah raga sepak bola.
Sedangkan Dira dan Reni mempunyai kegemaran berolah raga yang sama yaitu basket
dan badminton
Jika anak-anak Pak Budi dikelompokkan
menjadi satu dalam himpunan A, maka anggota dari himpunan A adalah Riska,Dimas,
Candra, Dira, dan Reni. Himpunan A tersebut kita tuliskan sebagai A = {Riska, Dimas, Candra, Dira, Reni}.
Sedangkan jenis olah raga yang digemari
anak-anak Pak Budi dapat dikelompokkan dalam himpunan B. Himpunan B dituliskan B =
{Badminton, Renang, Basket, Sepak bola}
Terhadap kegemaran anak-anak pak Budi,
terdapat hubungan antara himpunan A dan himpunan B. Hubungan tersebut berkait
dengan gemar berolah raga dari anak-anak pak Budi.
Riska gemar berolah raga badminton
dan renang
Dimas gemar berolah raga sepakbola
Candra gemar berolah raga sepakbola
Dira gemar berolah raga badminton
dan basket
Reni gemar berolah raga badminton
dan basket
Apabila gemar berolah raga kita
notasikan dengan tanda panah, pernyataan-pernyataan di atas dapat digambarkan sebagai
gemar berolah raga
Menyatakan
relasi dengan diagram panah
Kita melihat antara anggota himpunan A dan
anggota himpunan B memiliki hubungan (relasi) gemar berolahraga.
Selanjutnya kita katakan terdapat relasi antara anggota himpunan A dan
anggota himpunan B, atau sering juga
disebut relasi dari himpunan A ke himpun B.
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan
bahwa :
Menyatakan
relasi dengan diagram kartesius
Relasi antara anggota himpunan A dan B
adalah gemar berolah raga. Noktah 1 menghubungkan Riska dan
badminton,artinya Riska gemar berolah raga badminton. Noktah 4 menghubungkan
Candra dan sepak bola, artinya Candra gemar berolah raga sepak bola dan
seterusnya.
Menyatakan
relasi dengan pasangan berurutan
Pada relasi gemar
berolahraga di atas, kita memiliki himpunan penggemar olah raga A =
{Riska, Dimas, Candra, Dira,
Reni}, dan himpunan cabang olah raga B = {Badminton, Renang, Basket,
Sepakbola}. Berdasarkan Gambar 2.1, relasi gemar berolahraga dituliskan sebagai
R = {(Riska, Renang), (Riska,
Badminton), (Dimas, Sepakbola), (Candra, Sepakbola), (Dira, Badminton) , (Dira, Basket),
(Reni, Badminton), (Reni, Basket)}.
Pengertian Fungsi
Pernahkah kamu merasakan rasa gula, garam, lada
dan berbagai bahan dapur yang lainnya?
Coba rasakan bagaimanakah rasa gula? Pasti manis.
Bagaimanakah rasanya garam? Pasti asin,
tidak ada garam yang rasanya manis. Bagaimanakah
rasanya lada? Adakah lada yang
rasanya tidak pedas? Adakah rasa cuka yang tidak
asam ? Jika bahan-bahan dapur dikumpulkan dalam satu himpunan yaitu A dan rasa
dari bahan-bahan dapur dikumpulkan dalam himpunan B, maka relasi apa yang dapat
digunakan untuk menghubungkan himpunan A dan B ?
Jika relasi yang digunakan untuk menghubungkan
anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B adalah rasanya,
maka relasi tersebut dapat dinyatakan
dengan diagram panah seperti berikut :
Perhatikan Gambar 2.4.
Apakah setiap anggota himpunan A mempunyai
hubungan dengan anggota himpunan B ?
Apakah setiap anggota himpunan A mempunyai
hubungan dengan hanya satu anggota himpunan B ?
Karena setiap anggota himpunan A mempunyai hubungan dengan anggota
himpunan B dan setiap anggota himpunan A hanya mempunyai satu kawan anggota
himpunan B, maka relasi dari himpunan A dan B disebut fungsi atau pemetaan
.
Himpunan-himpunan prapeta dan himpunan peta
memiliki istilah sebagai berikut:
A = {garam, gula, cuka, lada} disebut daerah
asal atau domain dari fungsi.
B = {asam, asin, pahit, manis, pedas}
disebut daerah kawan atau kodomain dari fungsi.
Himpunan {asam, asin, manis, pedas} disebut
daerah hasil atau range dari fungsi.
Koordinat cartesiusnya:
Hati-hati dalam memilih himpunan yang
menempati sumbu horizontal(datar) dan sumbu vertikal (tegak) koordinat Cartesisus
. Penyajian koordinat Cartesius untuk fungsi, sumbu
datar untuk daerah asal (domain) dan sumbu
vertikal untuk daerah kawan (kodomain).
Himpunan Pasangan Berurutannya:
Dari koordinat Cartesius pada
gambar di atas, fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat pula dinyatakan
dengan pasangan berurutan sebagai berikut :
{(garam, asin) , (gula, manis)
, (cuka, asam) , (lada, pedas)}
Perhatikan
digram panah berikut:
Kedua relasi f dan g adalah
fungsi (kenapa?). Fungsi f memetakan himpunan A kepada himpunan B,
sebaliknya fungsi g memetakan himpunan B kepada himpunan A.
Pemetaan yang bersifat bolak-balik, baik
untuk f dan g disebut korespondensi satu satu.
Menghitung banyaknya Pemetaan
(Fungsi)
Jika banyak
anggota himpunan A adalah n(A) = a,
dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B)
= b, Maka banyaknya pemetaan (fungsi) yang mungkin: dari A ke B = ba dan
dari B ke A = ab
Contoh:
Diketahui A = {2,4,6,8} dan B
= {1,2} Tentukan banyaknya pemetaan yang terjadi dari A ke B
Jawab: n(A) = 4
dan n(B) = 2 maka banyaknya
pemetaan yang terjadi dari A ke B = ba
= 24 = 16
SOAL
LATIHAN
1. Manakah di antara diagram panah berikut
yang merupakan diagram panah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B? Jika
ada yang bukan fungsi, jelaskan mengapa?
a b c d e f g
2.
Diketahui himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = { 4, 5, 6}. Relasi dari A ke
B adalah “faktor dari”, nyatakan relasi tersebut kedalam bentuk :
a.
diagram
panah
b.
diagram
kertasius
c.
himpunan
pasangan berurutan
3. Diketahui A =
{1, 2, 3} dan B = {1, 8, 27} jika P adalah fungsi dari A ke B, maka:
a.
Buatlah
diagram panah yang menunjukkan pemetaan P yang ditentukan
1 ® 1 ; 2 ® 8 ; 3 ® 27
b.
Nyatakan
p dengan diagram kertasius
c.
Nyatakan
P sebagai himpunan pasangan berurutan
4. Perhatikan digram panah
berikut!
A B
· r
p
· · s
q · t
Tentukan domain,
kodomain, dan rangenya!
5. Diketahui A =
{1, 2, 3} dan B = {2,5}
a.
Tentukan
banyaknya pemetaan yang terjadi
b. Jika pemetaan dari A ke B
tidak boleh memasangkan angka yang sama, maka tentukan banyaknya pemetaan yang
terjadi
BAHAN AJAR
PERTEMUAN
KE 8 SK. 7
MATA
PELAJARAN : MATEMATIKA
KELAS
/ SEMESTER : VIII / GANJIL
MATERI
PEMBELAJARAN : FUNGSI
SUB
MATERI : Relasi dan Fungsi
ALOKASI
WAKTU :
3 x 40 MENIT ________________________________________________________________________
II. Kompetensi Dasar
: 7.4. Menentukan nilai fungsi
7.5. Membuat sketsa grafik fungsi aljabar
sederhana pada koordinat kartesius
III. Indikator
A. Kognitif
1. Produk:
·
Menghitung nilai suatu fungsi
·
Menentukan
bentuk fungsi jika nilai dan data fungsi diketahui
·
Menyusun
tabel fungsi
·
Menggambar
grafik fungsi pada koordinat kartesius
2. Proses:.
·
Cara menghitung
nilai suatu fungsi
·
Cara
menentukan bentuk fungsi jika nilai dan data fungsi diketahui
·
Cara
menyusun tabel fungsi
·
Cara
menggambar grafik fungsi pada koordinat kartesius
Uraian Materi
Perhatikan fungsi f dengan aturan x → (x –
1). Untuk x = 2, maka f(2) = 2 –1 = 1. Nilai f(2) = 1 disebut nilai
fungsi untuk x = 2. Nilai fungsi dari setiap anggota himpunan K
dapat dinyatakan dalam tabel fungsi berikut.
Grafiknya:
SOAL LATIHAN
1.
Jika f(x) = 4x -2
maka nilai f(3)=....
2.
Jika f(x) = px + q,
f(1) = 3 dan f(2) = 4, tentukan
a.
Nilai p dan q
b.
f(x)
c.
F(20)
3.
Gambarlah grafik
fungsi f : x → x2 + 4. Dengan domain {x I -3 ≤ x ≤ 3}, x
R
BAHAN AJAR
PERTEMUAN
KE 10 SK.7
MATA
PELAJARAN : MATEMATIKA
KELAS
/ SEMESTER : VIII / GANJIL
MATERI
PEMBELAJARAN : PERSAMAAN
GARIS LURUS
SUB
MATERI : Persamaan garis lurus dan Gradien
ALOKASI
WAKTU :
3 x 40 MENIT ________________________________________________________________________
II. Kompetensi Dasar
: 7.6. Menentukan gradien,
persamaan garis lurus
III. Indikator
A. Kognitif
1. Produk:
·
Mengenal
persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan variabel
·
Menyusun
tabel pasangan dan menggambar grafik pada koordinat kartesius
·
Mengenal
gradien dan menentukan gradien dari sebuah persamaan garis lurus
2. Proses:
·
Cara
mengenal persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan variabel
·
Cara
menyusun tabel pasangan dan menggambar grafik pada koordinat kartesius
·
Cara mengenal gradien dan menentukan gradien
dari sebuah persamaan garis lurus
Uraian Materi
Pengertian Persamaan Garis Lurus
Masih ingatkah kamu tentang
fungsi? Jika f(x) = 2x-3, tentukan f (-2). Pemahaman tentang
fungsi diperlukan untuk dapat
memahami materi pada Bab 3 ini dengan baik.
Bak Penampungan Air
Sebuah rumah mempunyai bak
penampungan air yang diletakkan di halaman depan. Pada suatu
hari, air dialirkan dari bak
penampungan ke dalam bak mandi. Hubungan antara volum air yang tertampung dengan
waktu alir disajikan dalam tabel di samping.
Misal x menyatakan lamanya air
mengalir dan y menyatakan volum air dalam bak mandi.
Relasi apakah yang dapat kita buat dari
data tersebut? Perhatikan bahwa pertambahan waktu adalah 1 menit (dari mana?),
sedangkan pertambahan volume air adalah 5 liter (dari mana?
Sekarang coba perhatikan relasi waktu dan volume
air yang dinyatakan oleh diagram panah
berikut:
Sekarang apabila waktu alirnya
adalah x=t menit, berapa volume air (y) liter yang
tertampung dalam bak mandi? Selanjutnya coba kamu gambar relasi yang dihasilkan
di atas dalam koordinat Cartesius. Apabila titik-titik pada koordinat Cartesius
kamu hubungkan, apa yang kamu peroleh?
Bila air mengalir selama 10
menit, berapakah volum air dalam bak mandi?
Bila volum bak mandi 75 liter,
berapakah waktu yang diperlukan untuk mengalirkan air hingga bak mandi penuh?
Hasil yang kamu peroleh pada
kegiatan di atas berupa fungsi dengan rumus y = 5x + 2. Grafik
yang kamu peroleh pada koordinat Cartesius berupa garis lurus. Selanjutnya,
apabila kamu menjumpai fungsi dengan bentuk umum y = ax + b, dalam koordinat Cartesius
berupa garis lurus (coba lakukan percobaan dengan mengambil beberapa nilai a
dan b). Oleh karena itu fungsi dengan bentuk y = ax + b dinamakan
persamaan garis lurus (kenapa?)
Perhatikan persamaan garis y = 5x + 2 yang kita peroleh
diatas. Sekarang tunjukkan dalam koordinat Cartesius untuk persamaan garis
tersebut untuk beberapa titik x = -1, 0, 1, 2, 3 dan hubungkan menjadi
satu garis lurus, seperti gambar di bawah ini.
Mengenal
Gradien
Gradien
merupakan Ukuran Kemirigan
Kamu tentu pernah melihat atap rumah. Coba perhatikan
gambar atap rumah di bawah ini.
Mengapa atap rumah tersebut dibuat miring? Pada
Gambar 3.7, atap rumah manakah yang
tampak lebih miring? Gambar 3.7(a) atau Gambar
3.7(b)?
Masih banyak contoh benda-benda di sekelilingmu
yang letaknya miring. Cobalah kamu sebutkan benda-benda tersebut.
Selanjutnya, kita akan mempelajari cara menentukan
kemiringan suatu benda. Pertama-tama, gambar atap rumah (a) di atas disederhanakan
menjadi sebuah segitiga seperti pada Gambar 3.8 di bawah. Misal AB : atap bagian kiri CB : atap bagian kanan DB : tiang penyangga tegak
AC :
alas penyangga mendatar
Misal titik H dan G pada AB. Apakah
kemiringan Gambar 3.8 AB , HB , dan GB sama?
Selanjutnya perhatikan Gambar 3.9(a) dan
3.9(b). Apakah kemiringan AB sama dengan kemiringan PQ ? Jika tidak, manakah
yang lebih miring? Mengapa?
Panjang tiang penyangga atap pada Gambar
3.9(a) dan 3.9(b) adalah sama atau DB = SQ, tetapi mengapa kemiringan atap berbeda?
Jawabnya, karena panjang alas penyangganya
tidak sama atau AC≠PR. Akibatnya AD ≠ PS. AD
adalah perbedaan datar (jarak datar) A dan B. PS adalah perbedaan datar
P dan Q.
Ini menunjukkan bahwa kemiringan atap
dipengaruhi oleh perbedaan datar.
Jadi dapat
disimpulkan bahwa kemiringan suatu benda dipengaruhi oleh perbedaan tinggi dan
perbedaan datar.
Untuk selanjutnya, disepakati bahwa ukuran
kemiringan benda adalah sebagai berikut.
Garis dengan persamaan ax + by = c
mempunyai gradien
Contoh :
Garis dengan persamaan 3x-2y=7 mempunyai gradien
SOAL LATIHAN
1. Tuliskan bentuk umum persamaan garis lurus
2. Buatlah tabel pasangan dan Gambarlah grafiknya dari persamaan y = 2x
– 1 untuk
x = {-2,-1,0,1,2}
3. Gambarlah grafiknya dari persamaan
2x – 3y = 12 untuk 2 ≤ x < 11, x
bilangan prima
4. Tentukan gradien dari
a.
y = -
x + 5 b. 2x – 5y = 13
c. 3y – 6x = 12 d. 2x + 6y -2 = 0
BAHAN AJAR
PERTEMUAN
KE 11 SK.7
MATA
PELAJARAN : MATEMATIKA
KELAS
/ SEMESTER : VIII / GANJIL
MATERI
PEMBELAJARAN : PERSAMAAN
GARIS LURUS
SUB
MATERI : Gradien dua titik, syarat gradien garis
sejajar dan tegak lurus
ALOKASI
WAKTU :
2 x 40 MENIT ________________________________________________________________________
II. Kompetensi Dasar
: 7.6. Menentukan gradien,
persamaan garis lurus
III. Indikator
Kognitif
1. Produk:
·
Menentukan
gradien garis melalui dua titik
·
Membuktikan
kedua garis sejajar sesuai dengan syarat gradien garis yang sejajar
·
Membuktikan
kedua garis tegak lurus sesuai dengan syarat gradien garis yang tegak lurus
2. Proses:
·
Cara menentukan gradien garis melalui
dua titik
·
Cara membuktikan kedua garis sejajar
sesuai dengan syarat gradien garis yang sejajar
·
Cara membuktikan kedua garis tegak
lurus sesuai dengan syarat gradien garis yang tegak lurus
Uraian Materi
Menentukan gradien garis melalui
dua titik
Perhatikan soal
cerita berikut: Pesawat Terbang
Grafik berikut memodelkan ketinggian
suatu pesawat dimulai dari saat roda di ke lua rk an
(waktu 0 detik) sampai saat pesawat
mendarat.
Jadi dapat disimpulkan seperti berikut.
Jadi rumus
menentukan gradien melalui dua titik A(x1,
y1) dan B(x2, y2).
m
=
Contoh:
Tentukan gradien garis yang melalui titik A(2,12) dan B(4,22).
Jawab: m =
=
=
=
Syarat gradien
garis sejajar: m1 = m2
Buktikan apakah kedua garis berikut
sejajar y = 2x – 3 dan 2y = 5 + 4x ?
Jawab: y = 2x – 3 → m1 = 2
2y = 5 + 4x
y =
+
y =
+ 2
→ m2 = 2
Ternyata m1
= m2 Jadi terbukti
kedua garis tersebut
Syarat gradien
garis tegak lurus: m1 x m2 = -1
Buktikan apakah kedua garis berikut
saling tegak lurus 2y = 3x – 2 dan 3y +
2x + 5 = 0
Jawab;
2y = 3x – 2
y =
-
y =
- 1 → m1 =
3y + 2x + 5 = 0
3y = -2x – 5
y = -
-
y = -
m1 x m2 = -1
x -
= -1
-
= -1
-1 = -1
Jadi terbukti kedua garis tersebut tegak lurus
SOAL LATIHAN
1. Tentukan gradien garis yang melalui titik (-3,7) dan (2,-8)
2. Buktikan apakah kedua garis
berikut sejajar y = 2x – 3 dan 2y = 5 +
4x ?
3. Buktikan apakah kedua garis
berikut saling tegak lurus y = 2x + 1 dan 2y = -x + 5
BAHAN AJAR
PERTEMUAN
KE 12 SK.7
MATA
PELAJARAN : MATEMATIKA
KELAS
/ SEMESTER : VIII / GANJIL
MATERI
PEMBELAJARAN : PERSAMAAN
GARIS LURUS
SUB
MATERI : Persamaan garis lurus dan gradien
ALOKASI
WAKTU :
3 x 40 MENIT ________________________________________________________________________
II. Kompetensi Dasar
: 7.6. Menentukan gradien,
persamaan garis lurus
III. Indikator
Kognitif
1. Produk:
·
Menentukan
persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan gradien
·
Menentukan
persamaan garis lurus yang melalui dua titik
·
Menentukan
persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan sejajar dengan garis lain
·
Menentukan
persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan tegak lurus dengan garis lain
·
Menentukan
titik potong dua persamaan garis lurus
2. Proses:
·
Cara
menentukan persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan gradien
·
Cara
menentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik
·
Cara
menentukan persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan sejajar dengan
garis lain
·
Cara
menentukan persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan tegak lurus dengan
garis lain
·
Cara menentukan titik potong dua
persamaan garis lurus
(cara eliminasi dan subtitusi)
Uraian Materi
Menentukan
persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan gradien
Rumusnya:
contoh
Tulislah persamaan garis yang memiliki
gradien –2 dan memotong titik (4, 10)!
Jawab:
Gunakan rumus y – y1 = m(x – x1 )
Sehingga diperoleh y – 10 = -2(x – 4)
y – 10 = -2x + 8
y = -2x + 8 + 10
y = -2x + 18
Menentukan persamaan garis lurus yang
melalui dua titik
Tentukan persamaan garis, jika
diketahui titik A(-3, 0 ) dan B(3,6)
Jawab:
Ada dua cara
Cara 1
Gunakan rumus:
6y = 6x + 18
y = x + 3
Cara 2
Cari gradiennya dulu
Lalu gunakan rumus
y – y1 = m(x-x1)
y – 6 = 1(x
– 3)
y = x + 3
Menentukan
persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan sejajar dengan garis lain
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik
A(3, -2) sejajar dengan garis
2x – 1/2y = 3
Jawab:
m1= -2 karena sejajar m1
= m2
m1 = m2
→ m2 = -2 juga
jadi y – y1 = m (x – x1)
y + 4 = -2 (x + 2)
y = -2x -4 - 4
y = -2x - 8 atau 2x + y + 2 = 0
Menentukan
persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan tegak lurus dengan garis lain
Tentukan
persamaan garis yang melalui titik A(2, -4) dan tegak lurus terhadap garis
2x – 4y = 3
Jawab:
m1= 3/2 karena tegak lurus m1 x m2 = -1
m1 x m2 =
-1 →
3/2 x m2 = -1 → m2 =-2/3
jadi y – y1 = m (x – x1)
y – 4 = -2/3 (x + 3)
y = -2/3x -2 +4
y = -2/3x + 2 atau 2x + 3y -2 = 0
Menentukan titik potong dua
persamaan garis lurus
Tentukan titik potong garis 2x + y = 7 dengan garis
x – 2y = -4
Jawab:
2x + y = 7 dikali 1 2x + y = 7
x - 2 y = -4
dikali 2 2x – 4y = -8 -
5y = 15
y = 3
subtitusi niliai
y ke:
2x + y = 7
2x + 3 = 7
2x = 7 – 3
2x = 4
x = 4/2
x = 2
jadi titik
potongnya = (2,3)
Bisa juga menggunakan tabel titik koordinat dengan
memisalkan x = 0 dan y = 0
SOAL LATIHAN
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3,
-1) dengan gradien m = - 2
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(-6,
2) dan B(3, -4)
3. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik
A(-2, -4) sejajar dengan garis
-4x + 2y = -8
4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(-3,
4) dan tegak lurus terhadap garis
3x - 2y =
4
5. Tentukan
titik potong garis 2x + y = 7 dengan garis x – 2y = -4
BAHAN AJAR
PERTEMUAN
KE 13 SK.7
MATA
PELAJARAN : MATEMATIKA
KELAS
/ SEMESTER : VIII / GANJIL
MATERI
PEMBELAJARAN : FUNGSI
SUB
MATERI : Gradien dan persamaan garis lurus dari grafik
Konsep garis lurus dalm kehidupan
ALOKASI
WAKTU :
3 x 40 MENIT ________________________________________________________________________
II. Kompetensi Dasar
: 7.6. Menentukan gradien,
persamaan garis lurus
III. Indikator
A. Kognitif
1. Produk:
·
Menentukan gradien garis
lurus jika gambar garis (grafiknya) diketahui
·
Menentukan persamaan
garis lurus jika gambar garis (grafiknya) diketahui
·
Menggunakan
konsep persamaan garis lurus dalam kehidupan sehari-hari
2. Proses:.
·
Cara menentukan gradien garis lurus jika gambar garis (grafiknya)
diketahui
·
Cara menentukan persamaan garis lurus jika gambar garis
(grafiknya) diketahui
·
Cara
menggunakan konsep persamaan garis lurus dalam kehidupan sehari-hari
Uraian Materi
SOAL LATIHAN
1. Tentukan gradien dari setiap garis
berikut:
2. Tentukan persamaan garis lurus pada soal no 1
3. Tentukan persamaan garis lurus berikut
4.
Suatu perusahaan penerbitan majalah mingguan pada tahun kedua
operasi penjualannya sebanyak 400
buah, sedangkan pada tahun keenam penjualannya sebanyak 2400 buah. Dapatkah diperkirakan penjualan
majalah pada tahun ke tujuh ? Hitunglah!